Manuel du Baccalauréat

Une notion mathématique ne se retient pas parce qu’elle a été lue : elle se retient parce qu’elle a été essayée. Ce chapitre est construit autour de cette idée. Chaque objet ci-dessous est vivant — la courbe se trace, la démonstration se dévoile étape par étape, l’arbre calcule ses propres probabilités et le questionnaire se corrige tout seul.

Ce que vous saurez faire

Étudier le sens de variation d’une fonction polynôme du troisième degré.
Résoudre une équation du second degré et interpréter le discriminant.
Appliquer le théorème de Pythagore et lire une figure codée.
Résumer une série statistique par ses indicateurs de position et de dispersion.
Construire un arbre pondéré et calculer une probabilité composée.

1 — Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

Sa dérivée se factorise, ce qui donne immédiatement le signe et donc les variations :

Lisez les deux courbes ensemble : partout où la courbe de f′ est au-dessus de l’axe, celle de f monte. Les deux points où f′ coupe l’axe sont exactement les extremums de f.

Le tableau de variations

Tout tient dans un seul tableau. Les flèches ne sont pas dessinées à la main : le manuel les déduit des valeurs que vous saisissez, et elles restent alignées sur les colonnes quelle que soit la largeur de l’écran.

x	0	1	3	4
f(x)	0	4	0	4
f′(x)	9	0	0	9

2 — Une démonstration, pas à pas

Tout se joue sur le signe d’un seul nombre, le discriminant¹. Le manuel dévoile la résolution ligne par ligne : la classe cherche, puis on avance.

Le bouton « Étape suivante » sert en classe : on projette l’énoncé, la classe cherche, puis on dévoile une ligne à la fois. Le résultat n’apparaît qu’à la fin.

3 — Intervalles et signes

Le signe de f′ se lit sur un axe gradué. L’intervalle colorié est celui où la fonction décroît ; les bornes pleines sont incluses.

Celui-ci se lit. Le suivant se construit : à l’élève de placer les deux bornes et de décider si elles sont incluses, exclues ou infinies.

4 — Géométrie dans le plan

La figure ci-dessous est construite à partir de trois points seulement ; les longueurs et l’angle droit sont calculés par le manuel, pas saisis à la main. Modifier une coordonnée dans l’éditeur suffit à redessiner toute la figure.

Passer dans l’espace

Un solide ne se comprend pas de face. Faites glisser le cube ci-dessous pour le tourner : les huit sommets sont nommés, et le volume comme l’aire se recalculent dès qu’on change l’arête dans les réglages.

Dix solides sont fournis d’office — cube, pavé, sphère, cylindre, cône, pyramide, prisme, tétraèdre, octaèdre, tore — sans aucun fichier à préparer. Pour un modèle à vous (une molécule, un organe, une pièce mécanique), déposez un .obj dans assets/ : il est intégré au livre à la compilation, donc il tourne encore hors ligne.

5 — Statistiques

Voici les notes obtenues par une classe de vingt élèves à un devoir sur 20. L’élément ci-dessous ne stocke que la liste des notes : la moyenne, les quartiles², l’écart-type, la boîte à moustaches et l’histogramme en sont déduits.

Une fréquence est une fraction

Une fréquence n’est rien d’autre qu’une fraction, et deux écritures différentes peuvent désigner la même valeur. C’est le premier réflexe à retrouver avant d’aborder les probabilités de la section suivante.

Séries à deux variables : l’ajustement affine

Une classe a relevé, pour chaque élève, son temps de révision et sa note. Le nuage de points ci-dessous calcule lui-même la droite des moindres carrés et le coefficient de détermination R².

Dans les réglages, remplacez l’ajustement affine par proportionnel et la droite est forcée par l’origine. C’est le réglage à choisir quand on teste une loi de la forme y = kx — voir le chapitre de physique.

6 — Probabilités

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire deux boules successivement et sans remise. L’arbre pondéré ci-dessous multiplie lui-même les probabilités le long de chaque chemin, et vérifie que chaque nœud totalise bien 1.

Si vous modifiez une probabilité et qu’une branche ne totalise plus 1, l’élément vous le dit en rouge. C’est la faute la plus fréquente au brouillon.

7 — Suites et algorithmique

Un capital placé à intérêts composés suit une suite géométrique. Faites glisser les curseurs : le résultat est recalculé à chaque mouvement, à partir de la formule seule.

Le même problème, résolu par un algorithme : combien d’années pour doubler le capital ? Le programme s’exécute vraiment, dans le navigateur et hors ligne : modifiez la liste des taux et relancez.

8 — S’entraîner

Contrôle de fin de chapitre

Algorithmique et programmation

Un algorithme se comprend en le déroulant à la main. On avance d’une ligne, on note ce que vaut chaque variable, et le comportement du programme apparaît — bien avant qu’on l’exécute.

Une courbe qu’on peut regarder de près vaut mieux qu’une courbe qu’on recopie.

Notes

Le discriminant doit son nom au fait qu’il discrimine : son signe seul suffit à décider du nombre de racines, avant tout calcul.

Convention scolaire : les quartiles sont obtenus par interpolation linéaire. D’autres conventions existent et donnent des valeurs légèrement différentes — ce n’est pas une erreur de calcul.

Indicateur	Maroc	Moyenne Afrique du Nord
Espérance de vie	77,3 ans	74,1 ans
Indice de fécondité	1,97	2,74
IDH	0,698	0,732
Part de l’agriculture dans l’emploi	29 %	21 %

La physique et la chimie partagent une même méthode et un même vice : on croit avoir compris parce qu’on a retenu la formule. Ce chapitre inverse l’ordre — le montage d’abord, la mesure ensuite, la formule en dernier, quand elle n’est plus qu’un résumé de ce qu’on a vu.

A — Électricité

1. Un circuit mixte

Le montage ci-dessous associe une portion en série et une portion en dérivation. Le manuel calcule lui-même la résistance équivalente et l’intensité du courant : changez une valeur dans les réglages, tout est recalculé.

Attention au piège classique : en dérivation, la résistance équivalente est plus petite que la plus petite des deux. Ajouter un chemin au courant, c’est lui faciliter le passage.

2. Faire varier, pour voir

Deux curseurs suffisent à parcourir toute la loi d’Ohm. Observez ce qui arrive à la puissance quand la tension double : elle est multipliée par quatre, pas par deux.

3. Vérifier la loi d’Ohm par l’expérience

On fait varier la tension aux bornes d’un conducteur ohmique¹ et on relève l’intensité. Le nuage de points ci-dessous porte les mesures brutes, avec leurs petites erreurs, et le manuel en tire la droite modèle forcée par l’origine — puisque la loi attendue est de la forme U = R × I.

Refaites le même graphique avec un ajustement affine : l’ordonnée à l’origine obtenue n’est pas nulle, alors qu’elle devrait l’être. C’est une excellente occasion de parler d’incertitude de mesure plutôt que de « faute ».

4. Charge et décharge d’un condensateur

Les deux courbes sont symétriques l’une de l’autre : elles décrivent le même circuit RC, une fois à la fermeture et une fois à l’ouverture de l’interrupteur.

t (en τ)	1	2	3	5
Charge atteinte	63 %	86 %	95 %	99 %
Charge restante	37 %	14 %	5 %	1 %

Où passe l’énergie ?

Un dipôle ne détruit pas d’énergie : il la répartit. Le diagramme ci-dessous se lit de gauche à droite, et le rendement n’est pas une donnée à retenir mais le rapport entre ce qui sort d’utile et ce qui est entré.

B — Mécanique

5. Faire le bilan des forces

Un solide posé sur une table : son poids le tire vers le bas, la table le repousse vers le haut avec exactement la même intensité. Le manuel additionne les vecteurs et conclut.

Ajoutons maintenant une traction oblique et un frottement. La somme n’est plus nulle : le manuel trace la résultante en pointillés, donne son intensité et son orientation.

Vérifiez à la main : T se décompose en 14,1 × cos 30° ≈ 12,2 N horizontalement et 14,1 × sin 30° ≈ 7,1 N verticalement. Verticalement, 12,9 + 7,1 = 20 = P — l’équilibre est bien réalisé. Horizontalement, il reste 12,2 − 6 ≈ 6,2 N.

4. Le vecteur variation de vitesse

Une balle arrive sur le sol puis repart. Sa vitesse a la même valeur avant et après le rebond — seule sa direction a changé. Pourtant quelque chose a bien changé, et c’est ce que dit le vecteur Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁ : il pointe vers le haut, exactement comme la force exercée par le sol.

5. Un champ, dessiné par le calcul

Un champ n’est pas une image que l’on dessine de mémoire : c’est une somme. Chaque flèche ci-dessous est calculée comme la somme des contributions des deux sources, en 1/r². Déplacez le point de test : sa flèche suit.

C — Optique et ondes

6. Construire l’image d’un objet

Trois rayons suffisent, et ils sont toujours les mêmes : celui qui arrive parallèle et repart par F′, celui qui passe par le centre optique sans dévier, celui qui passe par F et repart parallèle. Déplacez le curseur : l’image, les rayons et le grandissement suivent.

Une lentille divergente, elle, ne construit jamais d’image réelle : quelle que soit la position de l’objet, l’image reste virtuelle, droite et plus petite. Les prolongements en pointillés le montrent d’un coup d’œil.

Ondes et superposition

Deux ondes qui se rencontrent s’ajoutent point par point. Si elles ont la même longueur d’onde et sont en opposition de phase, la somme est nulle partout : c’est le principe du casque à réduction de bruit. Déplacez le curseur de phase de la seconde onde pour le voir.

Le graphe ci-dessus est un instantané : il montre la forme de l’onde à un instant donné. Ce qu’il ne peut pas montrer, c’est que cette forme se déplace. L’animation ci-dessous suit une crête — c’est elle qui avance à la célérité v, pas la matière.

D — Noyau et radioactivité

7. Écrire une équation nucléaire

Deux lois seulement, celles de Soddy : le nombre de masse A se conserve, le numéro atomique Z aussi. Le manuel vérifie les deux et nomme la désintégration.

Le même exercice, en mode contrôle : les nombres du noyau fils sont effacés, l’élève les retrouve par conservation.

E — Chimie

8. Équilibrer une équation

L’équation ci-dessous est présentée sans ses coefficients : l’élève les saisit, le manuel vérifie que chaque élément est conservé de part et d’autre de la flèche.

Toutes les transformations ne sont pas totales. La double flèche signale un équilibre chimique : la réaction inverse se produit en même temps que la réaction directe.

9. La molécule, vue de près

Représentation de Lewis du dioxyde de carbone : deux doubles liaisons, une géométrie linéaire, et deux doublets non liants sur chaque atome d’oxygène.

10. La classification périodique

Le tableau complet, cliquable : chaque case donne le symbole, le numéro atomique, la masse molaire et la famille de l’élément.

Faites lire la classification en colonnes avant de la faire lire en lignes : une famille se reconnaît à son nombre d’électrons de valence, et c’est lui qui commande la réactivité.

11. Doser une solution

On verse la soude millilitre par millilitre dans 20 mL d’acide et on relève le pH. Le manuel dérive la courbe, trouve le point le plus raide — l’équivalence — et en déduit la concentration inconnue. Aucun de ces trois nombres n’est saisi à la main.

Comparez la valeur trouvée par le manuel à celle que vous liriez « à l’œil » sur le saut : l’écart est presque toujours de quelques dixièmes de millilitre. C’est exactement l’intérêt de la méthode de la dérivée.

12. Lire les tendances du tableau

Pourquoi le sodium cède-t-il un électron et le chlore en capte-t-il un ? Cliquez deux éléments et changez de propriété : la réponse est dans les trois tendances.

13. Une échelle de mesure

Cliquez sur un repère pour lire son commentaire. Le pH est une échelle logarithmique : entre deux graduations, la concentration en ions H₃O⁺ est multipliée par dix.

Convertir avant de calculer

La moitié des erreurs de copie en physique ne sont pas des erreurs de physique : ce sont des conversions. Un volume change de mille à chaque rang, ce qui explique que 1 m³ vaille 1 000 L et non 100.

À retenir

En série les résistances s’ajoutent ; en dérivation ce sont les conductances qui s’ajoutent.
La constante de temps τ = RC ne dépend que du circuit, jamais de la tension appliquée.
Équilibrer une équation, c’est appliquer la conservation des éléments, pas deviner des nombres.
Le pH est un logarithme : une unité vaut un facteur dix.

Sécurité au laboratoire. Un circuit se câble hors tension et se ferme en dernier. Une solution acide se verse dans l’eau, jamais l’inverse. Ces deux gestes évitent l’essentiel des accidents de salle de TP.

S’entraîner

Mesurer, doser, identifier

Une espèce en solution ne se compte pas : elle se mesure. On choisit une grandeur physique qui varie avec sa concentration — l’absorbance d’une solution colorée, la conductivité d’une solution ionique — on l’étalonne sur des solutions connues, et on lit l’inconnue sur la droite obtenue.

Pourquoi une solution colorée a la couleur qu’elle a

Une solution éclairée en lumière blanche absorbe une partie du spectre. Ce qui reste — la superposition des radiations transmises — est ce que l’œil reçoit. Sur le cercle chromatique, cette couleur est diamétralement opposée à celle qui a été absorbée.

Les niveaux d’énergie d’un atome

L’énergie d’un atome est quantifiée : elle ne prend que certaines valeurs. Un photon n’est absorbé que s’il apporte exactement l’écart entre deux niveaux, et l’atome qui redescend émet un photon de la même longueur d’onde. Cliquez une transition : le signe de ΔE dit à lui seul s’il y a absorption ou émission.

E — Réviser

Les chiffres significatifs

Un résultat porte l’information de sa précision. Écrire 8,5493 après avoir mesuré avec deux chiffres, c’est annoncer une précision que l’on n’a pas — et c’est la façon la plus régulière de perdre un point. Trois exercices, trois règles.

Une formule qu’on n’a jamais vue fonctionner reste une phrase étrangère.

Notes

Un conducteur est dit ohmique lorsque la tension à ses bornes est proportionnelle à l’intensité qui le traverse. Une lampe à incandescence ne l’est pas : sa résistance augmente avec la température du filament.

Ce que vous saurez faire

1 — Étude d’une fonction

Le tableau de variations

2 — Une démonstration, pas à pas

3 — Intervalles et signes

4 — Géométrie dans le plan

Passer dans l’espace

5 — Statistiques

Une fréquence est une fraction

Séries à deux variables : l’ajustement affine

6 — Probabilités

7 — Suites et algorithmique

8 — S’entraîner

Contrôle de fin de chapitre

Algorithmique et programmation

Problématique

1 — Le cycle de la respiration cellulaire

2 — Observer la mitochondrie

3 — Travaux pratiques

4 — Exploiter les mesures

5 — Respiration ou fermentation ?

6 — Situer les organismes

7 — L’information génétique

Le croisement, case par case

Lire un arbre généalogique

8 — Synthèse

À retenir

Doser une molécule biologique

Repères

1 — Lire le territoire

Se tester sur la carte

2 — Une population qui vieillit par le bas

3 — Lire un climat

4 — Comparer des régions

5 — La fiche du pays

6 — Hiérarchiser les facteurs

7 — Un littoral qui change

8 — Cinquante ans d’aménagement

9 — Deux encarts au format libre

10 — Le schéma de synthèse

Lexique du chapitre

A — Électricité

1. Un circuit mixte

2. Faire varier, pour voir

3. Vérifier la loi d’Ohm par l’expérience

4. Charge et décharge d’un condensateur

Où passe l’énergie ?

B — Mécanique

5. Faire le bilan des forces

4. Le vecteur variation de vitesse

5. Un champ, dessiné par le calcul

C — Optique et ondes

6. Construire l’image d’un objet

Ondes et superposition

D — Noyau et radioactivité

7. Écrire une équation nucléaire

E — Chimie

8. Équilibrer une équation

9. La molécule, vue de près

10. La classification périodique

11. Doser une solution

12. Lire les tendances du tableau

13. Une échelle de mesure

Convertir avant de calculer

À retenir

S’entraîner

Mesurer, doser, identifier

Pourquoi une solution colorée a la couleur qu’elle a

Les niveaux d’énergie d’un atome

E — Réviser

Les chiffres significatifs

1 — L’auteur

2 — Situer l’œuvre

3 — Le texte, annoté

4 — Étude de document

5 — Le débat

Se mettre à la place

6 — Mouvements et genres

7 — La langue et le vers

Les temps du récit